Séries de Taylor
Em matemática, a série de Taylor ou série de potências é uma série de funções da seguinte forma:
A constante é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin).
Estas séries devem o seu nome a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d’Alembert e o nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l’Huillier.
Série de Taylor associada a uma função
A série de Taylor associada a uma função f infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto (a − r, a + r) é a série de potências dada por
Onde, n! é o fatorial de n e f (n)(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.
Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.
Lista de série de Taylor de algumas funções comuns
Função exponencial e logaritmo natural:
- <img src="http://upload.wikimedia.org/math/b/b/e/bbe87025e3fa88fdfdb938f887458624.png" alt="\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right|
Série geométrica:
- <img src="http://upload.wikimedia.org/math/a/f/a/afa35c9570846b4d62a5b385d011fb86.png" alt="\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right|
Teorema binomial:
- <img src="http://upload.wikimedia.org/math/1/2/0/120102fdffda610c5fd81f4fbcdb22a3.png" alt="(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ para todo } \left| x \right|
Funções trigonométricas:
- <img src="http://upload.wikimedia.org/math/1/d/4/1d4b8ea42850556b1fc8c0a5e95a4376.png" alt="\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + .. \mbox{ para } \left| x \right|
-
- onde Bs são números de Bernoulli.
- <img src="http://upload.wikimedia.org/math/e/6/3/e63655a397ab3e883bdf259da500a22a.png" alt="\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para } \left| x \right|
- <img src="http://upload.wikimedia.org/math/5/9/0/5904383a2432c8b5853a74d8d028aeef.png" alt="\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right|
- <img src="http://upload.wikimedia.org/math/0/7/0/070e34e7b14a766d1bedb7de035f11be.png" alt="\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right|
Funções hiperbólicas:
- <img src="http://upload.wikimedia.org/math/b/2/1/b21461fdac94f0f0df71c8de567fbdee.png" alt="\tanh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ para } \left|x\right|
- <img src="http://upload.wikimedia.org/math/9/5/7/957278b4f06643efa104ec949acf989d.png" alt="\mathrm{arcsen} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right|
- <img src="http://upload.wikimedia.org/math/5/b/0/5b0c4c9c1a522cf30230df5b948e1a01.png" alt="\mathrm{arctan} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right|
Função W de Lambert:
- <img src="http://upload.wikimedia.org/math/b/9/8/b984f6c476fe73c89c5472fdaec04d9d.png" alt="W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right|
- Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor
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