Inequação Exponencial
Antes de mais nada, vamos interpretar o nome “Inequações Exponenciais”.
É uma inequação porque não é uma equação (hehehe, até parece brincadeira), ou seja, pois na expressão não há uma IGUALDADE ou um sinal de igual (=).
É “Exponencial” pois em um dos termos da inequação há um expoente com uma incógnita, ou também chamada, variável (normalmente é “x”).
Veja uns exemplos de inequações exponenciais:
23x > 4x 54x2 < 253x
Note que nestas expressões não aparece o sinal de igualdade (=), e sim outros sinais. São eles:
Símbolo | Significado |
> | maior |
< | menor |
≥ | maior ou igual |
≤ | menor ou igual |
Veja também, algumas frases matemática que utilizam estes simbolos:
Frase | Como se lê | V/F |
2 < 3 | Dois é menor que três. | VERDADEIRO |
43 > 40 | Quarenta e três é maior que quarenta. | VERDADEIRO |
23 ≥ 100 | Vinte e três é maior ou igual que cem. | FALSO |
Dois terços é menor ou igual a quatro terços. | VERDADEIRO | |
5 ≥ 5 | Cinco maior ou igual a cinco. | VERDADEIRO |
OBS.: Na inequação acima, como o sinal significa “maior OU igual” pode ser ou maior ou igual. No exemplo é igual, por isso é verdadeiro. |
Devemos lembrar que, em uma inequação, quando trocarmos o lado direito da desigualdade pelo lado esquerdo da mesma, o sinal deve também inverter. Ou seja:
25 < 50 | Agora vamos colocar o 25 para direita e o 50 para esquerda. |
50 > 25 | Note que o sinal teve que obrigatoriamente inverter. Esta regra também vale para inequações exponenciais. |
23x ≤ 32x |
Ao inverter os lados: |
32x ≥ 23x | Devemos inverter o sinal de desigualdade, qualquer que seja ele. |
A resolução de INEquações exponenciais inicia com o mesmo objetivo de uma Equação exponencial: IGUALAR AS BASES. Podemos dividir as inequações em dois tipos. O 1o tipo que iremos ver, não tem diferença nenhuma no modo de resolver em relação as equações. Veja um exemplo do 1o tipo resolvido abaixo:
2x < 83 |
Como em uma equação, vamos fatorar ambos os lados: |
2x < (23)3 | Aplicando as propriedades de potenciação |
2x < 29 | Pronto, com as bases iguais podemos cortá-las e trabalhar somente com os expoentes. |
x < 9 | Gran finale!! Esta é a resposta |
Se você estudou bem as equações, não terá dificuldades em inequações.
O 2o tipo tem uma pequena diferença, mas nada que dê para assustar. Faz de conta que não sabemos que existe tal diferença e vamos resolver o problema abaixo:
Bom, como o objetivo é igualar as bases, já conseguimos. O exercício nos entregou quase pronto. Agora é só cortar as bases e trabalhar com os expoentes. | |
4x + 5 ≥ 2x + 3 |
Vamos resolver |
4x – 2x ≥ 3 – 5 |
Esta seria a resposta que nós acharíamos, se não soubéssemos o segundo tipo. Vamos verificar se dá certo? |
Se esta resposta for a certa, qualquer valor maior do que -1 (ou o próprio -1) que substituirmos na inequação inicial deveremos achar uma frase verdadeira. Vamos testar com o valor 0. | |
Note que não chegamos em uma verdade pois não é maior nem igual a . |
Isto sempre irá acontecer quando tivermos como base um número que seja menor que 1 e maior que 0 (0<base<1). Repare que esta é a mesma restrição para se ter uma função exponencial DECRESCENTE. Veja o gráfico abaixo de uma função exponencial decrescente:
Note que se aumentarmos o valor de x, iremos diminuir o valor de y (x2>x1 <=> ax2<ax1). Isto nos indica que quando “cortarmos” as bases de uma inequação com 0<base<1 devemos inverter a desigualdade. |
Veja o exemplo acima resolvido corretamente:
Já igualadas as bases, vamos cortá-las. Mas com o cuidade de inverter a desigualdade. | |
4x + 5 ≤ 2x + 3 |
Agora é só resolver. |
4x – 2x ≤ 3 – 5 |
Agora sim esta é a resposta certa! |
OBSERVAÇÃO |
Sempre que tivermos uma base menor que 1 e maior que 0(0<base<1) devemos INVERTER o sinal da desigualdade ao “cortar” as bases da inequação. |
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