Regra de L’Hôpital
A regra de L’Hôpital (L’Hôpital foi o apelido de Guillaume-François-Antoine Marquis de l’Hôpital, um matemático francês que viveu no século XVII) é usada para calcular limites de funções que envolvem a razão entre duas expressões indeterminadas na forma de “0/0” ou “infinito/infinito”.
Sejam e duas funções contínuas e diferenciáveis (deriváveis) em um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente no próprio .
Suponha que:
ou
Então,
Exemplos
Exemplo 1: Calcule
Este é um limite indeterminado na forma de “0/0”. Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:
Exemplo 2: Calcule
Este é um limite indeterminado na forma de “infinito/infiníto”. Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:
Portanto, o limite é igual a zero.
Exemplo 3: Calcule
Este é um limite indeterminado na forma de ““. Podemos reescrevê-lo como:
Vamos então calcular o limite de utilizando a regra de L’Hôpital, uma vez que :
Assim, temos
Observação importante: é necessário ter cuidado ao utilizar a regra de L’Hôpital, pois alguns alunos acabam aplicando-a indiscriminadamente, sem verificar se as hipóteses são satisfeitas, apenas porque é mais fácil para calcular limites. Esse tipo de erro pode levar a respostas incorretas.
Por exemplo, considere o limite . Se aplicarmos a regra de L’Hôpital, teremos:
.
No entanto, esse cálculo está incorreto. Observe que , enquanto . Ou seja, as hipóteses da regra de L’Hôpital não são satisfeitas. A resposta correta é:
.
Portanto, é importante lembrar que a regra de L’Hôpital deve ser usada com cuidado e apenas quando as hipóteses são satisfeitas. Caso contrário, pode levar a respostas incorretas.
Exercícios
Aqui estão alguns exercícios para você praticar:
- Calcule
- Calcule
- Calcule , onde $n$ é um número inteiro positivo
- Calcule
Gabarito
- 1/2
- 0
- -1/2
Comentários