Matriz Inversa: inversão por matriz adjunta

Uma matriz é chamada de inversível ou não singular se, e somente se, seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero e é representada pelo número -1 sobrescrito ao nome da matriz. Exemplos:

• A^-1 é a representação da matriz inversa de A
• B^-1 é representação da matriz inversa de B

Um método para determinar a matriz inversa é chamado de método de inversão por matriz adjunta. É um método mais longo que o método por sistemas lineares, porém, mais simples, pois não recaem em n sistemas de nequações. A utilização desse método depende do teorema M−1=1det(M)⋅M¯, onde:

• M^-1 é a matriz inversa de M.
• det(M) é o determinante da matriz M
• M é a matriz adjunta de M.

O método por matriz adjunta é constituído pela seguinte sequência de ações:

1. Calcular o determinante da Matriz M.
2. Calcular a matriz C dos cofatores de M.
3. Determinar a matriz adjunta M
4. Calcular M−1=1det(M)⋅M¯

Antes de tomarmos um exemplo qualquer, devemos observar que só existirá a matriz inversa de M se o seu determinante for diferente de zero, caso contrário teremos uma divisão por zero no passo 4 da sequência anterior, o que não é permitido. Vamos calcular, como exemplo, a inversa, se houver, da matriz . Seguindo a sequência dada, temos:

1. Cálculo do determinante de A:

det(A)=(1⋅0)−(3⋅2)⇒det(A)=0−6⇒det(A)=−6

O determinante de A é diferente de zero, isso significa que existe a matriz inversa A^-1. Passamos então para o passo seguinte.

2. Cálculo da matriz C dos cofatores de A.

Cofator A_i,j do elemento a₁₁ (1):

Cofator A_i,j do elemento a₁₂ (3):Cofator A_i,j do elemento a₂₁ (2):Cofator A_i,j do elemento a₂₂ (0):De posse dos valores dos cofatores escrevemos a matriz C dos cofatores: 

3. Cálculo da matriz Adjunta de A. A matriz adjunta A é a transposta da matriz C dos cofatores, isto é: A = C^t Portanto temos:

4. Cálculo da inversa A^-1, pelo teorema

Substituindo os valores encontrados anteriormente  no teorema temos: 

Multiplicando −1/6 pelos elementos da matriz A, obtemos enfim a inversa de A.