EDO
Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da forma
F(x,y'(x),y”(x),y”'(x), … ,y(n)(x)) = 0
envolvendo uma função incógnita y=y(x) e suas derivadas ou suas diferenciais. x é a variável independente e y é a variável dependente.
Exemplos:
- y”+3y’+6y=sen(x)
- (y”)³+3y’+6y=tan(x)
- y”+3yy’=exp(x)
- y’=f(x,y)
- M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Ordem e Grau de uma Equação Diferencial
A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a forma de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas, como por exemplo: Ay(3)+By(2)+Cy(1)+Dy(0)=0
Exemplos:
- y”+3y’+6y=sen(x) tem ordem 2 e grau 1
- (y”)³+3y’+6y=tan(x) tem ordem 2 e grau 3
- y”+3yy’=exp(x) tem ordem 2 e grau 1
- y’=f(x,y) tem ordem 1 e grau 1
- M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 tem ordem 1 e grau 1
Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n
Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:
ao(x) y(n)+a1(x) y(n-1)+a2(x) y(n-2)+…+an(x) y = b(x)
onde ao=ao(x) é uma função não nula, as funções b=b(x) e ak=ak(x) (k=0,1,2,…,n) são funções conhecidas e dependem somente de x e a notação y(k) significa a derivada de ordem k da função y em relação à variável x (k=0,1,2,…,n).
Em uma equação diferencial ordinária linear a função incógnita y=y(x) a ser obtida somente pode operar com características lineares.
Solução de uma Equação Diferencial Ordinária
Uma solução para uma Equação Diferencial é uma função que satisfaz identicamente a equação. A solução mais geral possível que admite uma Equação Diferencial é denominada solução geral, enquanto que outra solução é chamada uma solução particular.
Exemplos:
- y(x)=exp(-x) é uma solução particular de y’+y=0.
- y(x)=C exp(-x) é a solução geral de y’+y=0.
- y(x)=sen(x) é uma solução particular de y”+y=0.
- y(x)=Asen(x)+Bcos(x) é a solução geral de y”+y=0
- y(x)=99 é uma solução particular de y”’+3y’y”=0
Existência e unicidade de solução de uma EDO
Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? Em caso positivo, será que esta solução é única? Será que existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Para responder a estas perguntas existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas características.
Alertamos que obter uma solução para uma Equação Diferencial é “similar” a calcular uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas, dessa forma não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam soluções.
Problema de Valor Inicial (PVI): Um problema com uma equação diferencial satisfazendo algumas condições adicionais é denominado Problema de Valor Inicial (PVI). Se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a solução geral.
Outras Páginas de Equações Diferenciais
- Handbook of Differential Equations
- Ordinary Differential Equations Project
- Journal of Dynamics and Differential Equations
- Electronic Journal of Differential Equations
- Differential&Difference Equations
- Difference to Differential Equations
- The Math Forum – Math Library – ODE
- CRPC’s Differential Equations Group
- Reviews of DE Solvers
- Interactive Calculus and Differential Equations
- Bifurcations, Phase Lines, Diff. Eq.
- IDEA, Internet Diff. Eq.
- Maple Exercises – Differential Equations
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