Definição & Unidade Imaginária

Os números complexos são uma extensão dos números reais que incluem uma nova unidade imaginária, representada por “i”. A unidade imaginária “i” é definida como a raiz quadrada de -1, ou seja, i² = -1.

Um número complexo é expresso na forma a + bi, onde “a” é a parte real e “b” é a parte imaginária. A parte real e a parte imaginária de um número complexo podem ser números reais.

Por exemplo, o número complexo 3 + 2i possui uma parte real de 3 e uma parte imaginária de 2. O número complexo 4 – 5i tem uma parte real de 4 e uma parte imaginária de -5.

 

Unidade imaginária

As equações do 2º grau são resolvidas utilizando diversas técnicas, dentre as quais, a mais cogitada é através da resolução pelo método de Bháskara, que determina as raízes da equação utilizando os seus coeficientes.

Ao resolvermos uma equação do 2º grau utilizando o método de Bháskara, respeitamos algumas condições conforme o valor do discriminante. Se ele for maior ou igual a zero, continuamos a resolver a equação. Caso seja menor que zero, isto é, um número negativo, dizemos que a equação não possui raízes reais, em virtude de o valor do discriminante pertencer a uma raiz. A afirmativa condiciona-se ao fato de que dentre o conjunto dos números reais, não existe raiz quadrada de números negativos. Observe a seguinte equação:

O valor do discriminante é igual a um número negativo (∆ = −4). Esse tipo de equação ficou por muito tempo sem resolução, pois se enquadrava na situação da raiz quadrada de um número negativo. Somente após um longo período de pesquisas e estudos, matemáticos anunciaram a resolução com o auxílio de um número imaginário. O mesmo era representado pelo símbolo i² e associava seu valor a −1. Observe como representar a raiz negativa da equação anterior:

Dessa forma, as equações em que o valor do discriminante fosse um número negativo, seriam resolvidas aplicando as técnicas do número imaginário, obtendo assim, a raiz quadrada deste número negativo. Veja:

Com essa nova descoberta surgiu o conjunto dos números complexos, formados por uma parte real e outra parte imaginária. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² − 6x + 10 = 0, são x’ = 3 + i e x” = 3 − i. As raízes são números complexos onde a parte real de x’ é igual a 3 e a parte imaginária +i e a parte real de x” é 3 e a parte imaginária −i.

Exemplo

Vamos determinar as raízes da seguinte equação do 2º grau: −x² + 4x − 16 = 0.

As raízes da equação −x² + 4x − 29 = 0 são:

x’ = 2 − 5i
x” = 2 + 5i

 

Os números complexos também podem ser representados no plano complexo, onde o eixo x representa a parte real e o eixo y representa a parte imaginária. Nesse plano, o número complexo a + bi é representado por um ponto com coordenadas (a, b).

Os números complexos têm muitas aplicações práticas, como em circuitos elétricos, processamento de sinais, teoria dos números e geometria. São uma ferramenta poderosa na matemática e na física para descrever fenômenos e resolver problemas que envolvem quantidades imaginárias.

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Veja também:

Potências de i

Operações com números complexos na forma algébrica

Forma trigonométrica de um número complexo

Multiplicação e divisão de complexos na forma trigonométrica

Potenciação de números complexos na forma trigonométrica

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