Regra de L’Hôpital

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A regra de L’Hôpital (L’Hôpital foi o apelido de Guillaume-François-Antoine Marquis de l’Hôpital, um matemático francês que viveu no século XVII) é utilizada para calcular limites de funções que envolvem a razão entre duas expressões indeterminadas na forma de “0/0” ou “infinito/infinito”.

Sejam f(x) e g(x) duas funções contínuas e diferenciáveis (deriváveis) em um intervalo aberto.

Suponha que:

\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0

ou

\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = \infty

Então,

\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Exemplos

Exemplo 1: Calcule \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}

Este é um limite indeterminado na forma de “0/0”. Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:

\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim\limits_ {x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \sin x}{\frac{d}{dx} x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1

Exemplo 2: Calcule \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}

Este é um limite indeterminado na forma de “infinito/infiníto”. Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:

\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^3}{e^x} = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{3x^2}{e^x} = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{6x}{e^x} = \lim\limits_{x\to \infty} \frac{6}{e^x} = 0

Portanto, o limite é igual a zero.

Exemplo 3: Calcule \lim\limits_{x \to 0^+} x^x

Este é um limite indeterminado na forma de “0^0“. Podemos reescrever x^x como:

x^x=e^{\ln(x^x)} = e^{x \ln x}=e^{\frac{\ln x}{1/x}}

Vamos então calcular o limite de \frac{\ln x}{1/x} utilizando a regra de L’Hôpital, uma vez que calcular o limite do numerador e denominador resulta em uma forma indeterminada:

\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{1/x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1 / x}{-1 / x^2}=\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}-x=0

Assim, temos

\lim\limits_{x \to 0^+} x^x=\lim\limits_{x \to 0^+} e^{x \ln x}= e^{\lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x}=e^0=1

Observação importante: é necessário ter cuidado ao utilizar a regra de L’Hôpital. Alguns alunos acabam aplicando-a indiscriminadamente, sem verificar se as hipóteses são satisfeitas, somente para calcular limites facilmente. Tal comportamento pode resultar em respostas incorretas.

Por exemplo, consideremos o limite \lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x+2}. Ao aplicar a regra de L’Hôpital, teremos:

\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x+2}=\lim\limits_{x \to 2} 2x=2\cdot 2=4.

No entanto, este cálculo está incorreto. Observe que \lim\limits_{x \to 2} x^2-4=0, enquanto \lim\limits_{x \to 2} x+2=4. Ou seja, as condições para usar a regra de L’Hôpital não são atendidas. A resposta correta é:

\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x+2}= \frac{2^2-4}{2+2}=\frac{0}{4}=0.

Portanto, é importante lembrar que a regra de L’Hôpital deve ser usada com cautela e somente quando as condições necessárias forem satisfeitas. Caso contrário, pode levar a respostas erradas.

Exercícios

Aqui estão alguns exercícios para você praticar:

  1. Calcule \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}
  2. Calcule \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}
  3. Calcule \lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n}, onde $n$ é um número inteiro positivo
  4. Calcule \lim\limits_ {x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{\sin^2 x}

Gabarito

  1. 1/2
  2. 0
  3. \infty
  4. -1/2
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