Demonstração de Funções Trigonométricas do Arco Duplo

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É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de  2a, 3a,... \;\!, utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo  2a = a + a, 3a = 2a + a, ... \;\!, conforme será mostrado adiante.

Cosseno

Usando a fórmula do cosseno da soma, temos: \cos 2a = \cos \left ( a + a \right ) = \cos a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, a \cdot \mathrm{sen}\, a = \cos^2 a - \mathrm{sen}\,^2 a \;\!

Logo, utilizando a identidade trigonométrica, podemos obter duas fórmulas finais:

     \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!
     ou                  
     \cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!


 \cos 3a = \cos \left ( 2a + a \right ) = \cos 2a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!

= \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a \right ) \cdot \mathrm{sen}\, a \;\! = \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - 2\mathrm{sen}\,^2 a \cdot \cos a \;\!

Utilizando a Identidade trigonométrica e trabalhando algebricamente, temos:

     \cos 3a = 4 \cos^3 a - 3 \cos a \;\!

Expressões para  \cos 4a, \cos 5a,...\;\! são obtidas por processos semelhantes.

Seno

Ultilizando a fórmula do seno da soma:

  • \mathrm{sen}\, 2a = \mathrm{sen}\, \left ( a + a \right ) = \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \;\!

Então, temos:

   \mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a  \;\!
  • \mathrm{sen}\, 3a = \mathrm{sen}\, \left ( 2a + a \right ) = \mathrm{sen}\, 2a \cdot \cos a + \cos 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!

= \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \right ) \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \left ( 1 - 2 \cdot \ sen^2 a \right ) \;\! = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - \mathrm{sen}\,^2 a \right ) + \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 a \right ) \;\!

Logo:

   \mathrm{sen}\, 3a = 3 \cdot \mathrm{sen}\, a - 4 \mathrm{sen}\,^3 a \;\!

Expressões para  \mathrm{sen}\, 4a, \mathrm{sen}\, 5a,...\;\! são obtidas por processos semelhantes.

Tangente

A partir da fórmula da tangente da soma:

\tan 2a = \tan \left ( a + a \right ) = \frac{\tan a + \tan a}{1 - \tan a \cdot \tan a} \;\!

Logo:

    \tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a} 
 \tan 3a = \tan \left ( 2a + a \right ) = \frac{\tan 2a + \tan a}{1 - \tan 2a \cdot \tan a} \;\!

Ao subtituimos a fórmula anterior para  \tan 2a \;\! e simplificarmos, obtemos como fórmula final:

   \tan 3a = \frac{3 \cdot \tan a - \tan^3 a}{1 - 3 \cdot \tan^2 a} \;\!

Expressões para  \tan 4a, \tan 5a,... \;\! são obtidas por processos semelhantes.

Exemplo

Se

\cot x = \frac{5}{3} \;\! e  0 < x < \frac{\pi}{2} \;\!,

calcule  \cos 2x \;\!.

Resolução

Precisamos encontrar  \mathrm{sen}\, x \;\! para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade  \csc^2 x = 1 + \cot^2 x \;\!, que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que  \csc x = \frac{1}{\mathrm{sen}\, x} \;\!.

Como  0 < x < \frac{\pi}{2} \;\!, o valor da cossecante é positivo.

\csc x = \sqrt{1 + \cot^2 x} = \sqrt{1 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3}

De onde vem

\mathrm{sen}\, x = \frac{3}{\sqrt{34}} .

Podemos finalmente calcular:

\cos 2x = 1 - 2 \cdot \ sin^2 x = 1 - 2 \cdot \frac{9}{34} = 1 - \frac{18}{34} = \frac{8}{17} .

Veja também: Demonstração de Funções Trigonométricas do semi-arco (ou arco-metade)

  1. clecioreis
    22/04/2012 às 1:09
    Responder

    muito bom camarada obrigado.

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