Lei do Cosseno e Lei do Seno

Lei dos Cossenos

Faremos, aqui, o estudo da lei dos cossenos e suas aplicabilidades.

Vejamos a demonstração da lei dos cossenos:

Considere o triângulo acutângulo abaixo, sendo CH a altura relativa ao lado AB.

No triângulo BCH, temos que:

 No triângulo ACH, temos que:

Substituindo (II) e (III) em (I), obtemos:

De forma análoga, obtemos:

As três igualdades anteriores são chamadas de Lei dos Cossenos, que diz: “Num triângulo qualquer, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado”.

Lembre-se que a Lei dos cossenos vale para qualquer triângulo.

Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Determine o valor de x no triângulo ABC acutângulo abaixo.

Solução: Aplicando a lei dos cossenos, temos que:

Exemplo 2. Determine o valor de y no triângulo obtusângulo abaixo.

Solução: Lembrando que a lei dos cossenos também é válida para o triângulo obtusângulo, temos que:

Exemplo 3

Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:

a² = b² + c² – 2 * b * c * cos?
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º
49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5
49 = x² + 9 – 3x
x² –3x – 40 = 0

Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:

x’ = 8 e x” = – 5, por se tratar de medidas descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.

Exemplo 4

Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.

Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.

Aplicando a lei dos cossenos

a = 7, b = 6 e c = 5

7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2

O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.

Exemplo 5

Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.

cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5

x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7

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LEI DOS SENOS

Faremos o estudo da lei dos senos para um triângulo qualquer.

Vejamos, primeiro, a demonstração de tal lei.

Considere o triângulo ABC, acutângulo, abaixo, onde CH é a altura relativa ao lado AB.

No triângulo ACH, temos que:

No triângulo BCH, temos que:

De (I) e (II), obtemos:

Assim, podemos concluir que:

Que é chamada de Lei dos senos ou Teorema dos senos.

A demonstração acima foi feita para um triângulo acutângulo, mas a mesma pode ser realizada para qualquer triângulo de forma análoga, chegando ao mesmo resultado.

Vejamos alguns exemplos de aplicação da lei dos senos.

Exemplo 1. Determine o valor de c no triângulo obtusângulo abaixo:

Solução: Aplicando a lei dos senos, teremos:

Sabemos que sen 120^o = sen 60^o. Assim, teremos:

Exemplo 2. No triângulo acutângulo a seguir, determine o valor de x.

Solução: Utilizando a lei dos senos, temos que:

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Veja também:

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