Triângulo equilátero

Considere um triângulo equilátero ABC de lado l, como mostra a figura.

A área de um triângulo qualquer é dada por:

No caso do triângulo equilátero não conhecemos o valor da altura, somente dos lados, porém, é fácil determinar a altura em função da medida do lado. Para isso, basta lembrar que a altura é, também, mediana, mediatriz e bissetriz do triângulo equilátero. Assim, teremos a figura abaixo.

O triângulo AMC é retângulo em M, pois AM é a altura do triângulo. Sabemos que M é o ponto médio do lado BC. Dessa forma, podemos utilizar o teorema de Pitágoras obtendo a seguinte igualdade:

Obtemos, assim, a altura do triângulo equilátero em função da medida do lado.
Como a base do triângulo equilátero é l, sua área será dada por:

Também podemos obter a área do triângulo equilátero usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo. Veja:

Sabemos que num triângulo equilátero cada ângulo interno mede 60o. Como a altura do triângulo equilátero é também bissetriz, teremos:

Encontrada a altura em função do lado, substituímos na fórmula da área de um triângulo qualquer e obtemos a sentença matemática que determina a área de um triângulo equilátero.