P.A.

Progressão Aritmética (PA) é toda seqüência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante, essa diferença constante é chamada de razão da progressão. Ou ainda onde cada termo (a partir do segundo) é obtido somando-se uma constante (chamada razão) ao termo anterior.

• Representação matemática:

(a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, … a_n-1, a_n, a_n+1, …)

• Classificação:
  Uma PA pode ser:

a.      crescente: (r > 0) – (2, 4, 6, 8, 10, …)_ r = 2

b.      decrescente: (r < 0) – (7, 5, 3, 1, -1, -3, …)_ r = -2

c.      constante: (r = 0) – (9, 9, 9, 9, …)

Fórmula do termo geral de uma PA:
(a₁, a₂, a₃, ….., a_n-1, a_n)

a₂ = a₁ + r

a₃ = a₂ + r = a₁ + 2r

…..

a_n = a₁ + (n-1)r

a_n = termo geral n = n-ésimo termo

a₁ = primeiro termo

r = razão

Expressões Gerais:

1)      Três números em PA

x – r, x, x + r

2)      Cinco números em PA
x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r

3)      Quatro números em PA
x – 3r, x – r, x + r, x + 3r

• Interpolação Aritmética:

Interpolar significa inserir, intercalar meios aritméticos entre 2 números, formando assim uma P.A. .
X , __ , __ , __ , Y
– Se interpolarmos n meios entre 2 números, iremos obter uma P.A. de n + 2 termos;

• Propriedades da P.A.:

1.       Numa P.A. ao considerarmos 3 termos consecutivos, o termo médio é a média aritmética dos outros 2; a_n = a_n-1 + a_n-1 /  2

2.       Numa P.A. finita, a soma dos extremos é igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos;
a₁ + a_n = a₂ + a_n-1 = a₃ + a_n-2 = …

Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

Demonstração:

• O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:

• O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:

, portanto: 

• O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:

, portanto: 

• Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:

Outra fórmula útil expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo:

Soma dos termos de uma progressão aritmética

Pelo esquema acima, temos que a soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética finita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:

A soma dos termos entre  e  é:

Demonstração:

Considere as somas:

Sn = a1 + a2 + …… + an-1+ an

Sn = an + an-1 + ………..a2 + a1

Soma as duas:

2Sn = (a1 + an) + (a2+an-1) + …..+ (an+a1)

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA.

a2 + an-1 = (a1 + r) + (an – r) = a1 + an
a3 + an-2 = (a1 + 2r) + (an – 2r) = a1 + an

e assim por diante.

Então, como há n pares de termos, de 1 até n:

2Sn = (a1 + an) n

Sn = (a1 + an) n / 2

OBS.: Esta demonstração também pode ser feita pelo processo de Indução Finita. Aconselho aos alunos que dominam esta técnica.

–

Veja alguns exercícios resolvidos