Demonstração da Fórmula do Volume de Pirâmide

Para entender a demonstração é necessário conhecer um pouco de cálculo integral. Portanto, alunos do ensino médio poderão ter dificuldades para entender, tendo em vista que não trabalham tal conteúdo.

Parte 1: Demonstração Fórmula Volume Pirâmide de Base Circular

Vamos considerar primeiramente um caso particular de pirâmide: o cone.

Considere a área sombreada sob a curva f ( x ) = ax:

Podemos notar que a figura formada é um triângulo retângulo com um dos vértices na origem. Se rotacionarmos este triângulo 360º em torno do eixo x, observamos que a figurar formada é um cone com vértice na origem:

Para encontrarmos o volume deste cone, vamos supor fatias paralelas ao eixo y com larguras infinitesimais dx e raio y:

O Volume de um Cilindro é dado por:

Como o raio do cilindro de altura infinitesimal é igual a y e sua altura é igual a dx, podemos reescrever a fórmula de seu volume como:

Podemos dizer que o cone é formado por infinitos  cilindros de alturas infinitesimaisdx, onde o raio y é variável para cada cilindro. A soma destes cilindros será dada pela integral definida:

Que equivale a dizer:

onde f ( x ) é a curva f ( x ) = ax, x₀ e x₁ são os limites da área sob a curva (o vértice e o centro da base do cone gerado, respectivamente).

Temos então que o volume do cone é dado por:

mas f ( x ) = ax, portanto:

Integrando em relação a x, temos:

mas como x₀ = 0 (origem), temos:

Em contrapartida temos que:

Substituindo ( II ) em ( I ), obtemos:

Mas y₁ é o raio da base no cone e x₁ é sua altura. Então podemos reescrever o volume como:

Se a área da base do cone é:

Temos que:

Que é a famosa fórmula para cálculo de volume de uma pirâmide qualquer.

Exemplo 1: Dado o cone abaixo, calcular seu volume.

Primeiramente, vamos remanejar o cone acima para melhor entendimento:

Se utilizarmos a fórmula pronta para cálculo de volume de pirâmide, temos:

Que é o mesmo valor encontrado utilizando o conceito de integral definida.

Parte 2: Demonstração Fórmula Volume Pirâmide de Base Qualquer

Consideremos a pirâmide de base quadrada abaixo:

Para encontrarmos o volume desta pirâmide, vamos supor fatias paralelas ao eixo ycom alturas infinitesimais dx:

O volume deste prisma de altura infinitesimal é dado por:

Mas l/2 é igual a y, então:

Podemos dizer que o volume da pirâmide é constituído por infinitos prismas de alturas infinitesimais dx, onde os lados l são variáveis para cada prisma.

A soma destes prismas de alturas infinitesimais é dado pela integral definida:

Integrando em relação a x, temos:

Mas como x₀, então:

Temos que f(x) = ax:

Substituindo (II) em (I), temos:

Mas y₁ é a metade da aresta lateral da base da pirâmide e x₁é sua altura h:

Como a área de base é l², então:

Que é a famosa fórmula para cálculo de volume de uma pirâmide qualquer.

Vimos que numa pirâmide de base circular e quadrada, encontramos a mesma fórmula para o volume. Se quisermos aplicar o mesmo conceito para uma pirâmide de base pentagonal, hexagonal ou n-gonal, veremos que todas recaem à mesma fórmula para o volume.

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Créditos: Kleber Kilhian, Garulhos, SP.

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Veja Também: Demonstração Fórmula Volume Tronco de Cone