Equação da Elipse

Definição

Consideremos num plano, dois pontos F₁ e F₂ distantes um do outro por 2c > 0 e seja a > c.

Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano onde a soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.

[Figura 1: Elipse]

Ao conjunto dos pontos P pertencentes ao plano, tais que:

dá-se o nome de Elipse.

Os elementos de uma elipse são:

Foco: São os pontos F₁ e F₂;

Distância focal: é a distância 2c entre os pontos;

Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2;

Eixo maior: é o segmento A₁A₂ de comprimento 2a (o segmento A₁A₂ contém os focos e os seus eixos extremos)

Eixo menor: é o segmento B₁B₂ de comprimento 2b (o segmento B₁B₂ é ortogonal ao segmento A₁A₂ no ponto C;

Vértices: são os pontos A₁, A₂, B₁ e B₂.

A excentricidade exprime o “achatamento” da elipse e é dada pela divisão:

Em toda a elipse, vale a relação pitagórica:

Vamos, agora, demonstrar a equação da elipse:

Seja P(x, y) um ponto genérico de uma elipse, cujos focos são F₁(– c, 0) e F₂(c, 0).

Temos que:

Pela equação (1) temos que:

Substituindo (3) e (4) na relação acima, obtemos:

Elevamos ambos os lados ao quadrado:

Dividimos ambos os lados por 4:

Elevamos, novamente, ambos os lados ao quadrado:

Multiplicamos por – 1:

Dividimos ambos os lados por a²(a² – c²):

Da relação (2) temos:

Substituindo (6) em (5), obtemos:

Que é a equação reduzida da elipse. 

Créditos: Kleber Kilhian em obaricentrodamente.blogspot.com