Função Inversa

Para determinar se uma função possui inversa é preciso verificar se ela é bijetora, pois os pares ordenados da função devem pertencer à função inversa  .

Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-5,-3,-1,1,3}, considere a função  definida pela fórmula  y=2x-1, veja o diagrama dessa função abaixo:

Então: $latex f = { (-2,-5); (-1,-3); (0,-1) ; (1,1) ; (2,3)}$

Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está associado a um elemento diferente no conjunto da imagem. Por ser bijetora essa função admite inversa.
A sua função inversa será indicada por   f ^-1: B→A definida pela fórmula . Veja o diagrama abaixo:

Então:  f ^-1 = {(-5,-2); (-3,-1) ; (-1,0); (1,1) ; (3,2)}

O que é domínio na função $latex f$ vira imagem na $latex  f ^{-1}^$ e vice-versa.

Dada uma sentença de uma função $latex y = f(x)$, para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos.

Dada a função y = 3x – 5 determinaremos a sua inversa da seguinte maneira:

1º passo: isolar x.
y = 3x – 5
y + 5 = 3x
x = (y + 5)/3

2º passo: troca-se x por y e y por x, pois é mais usual termos como variável independente a letra x.

y = (x + 5)/3

Portanto, a função f(x) = 3x – 5 terá inversa igual a f ^–1 (x) = (x + 5)/3

Exemplos 1

Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:

Isolando x:
y = x²
√y = x

Invertendo x por y e y por x:
y = √x

Portanto, f ^–1(x) = √x

Exemplo 2

Dada a função , a sua inversa será:

Nessa resolução iremos seguir o processo contrário, veja:

Trocando x por y e y por x:

Isolando y:

x (3y – 5) = 2y +3
3xy – 5x = 2y + 3
3xy – 2y = 3 + 5x
y (3x – 2) = 3 + 5x

Portanto, a função inversa da função  será f ^-1(x) = 

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Fonte: http://www.brasilescola.com/