Demonstração da Fórmula do Volume de Esfera

Para esta demonstração, utilizamos o conceito de integral definida. Portanto, a demonstração pode se tornar de difícil compreensão para alunos do ensino médio, tendo em vista que não trabalham tal conteúdo.

Vamos supor a circunferência abaixo com centro na origem:

Se rotacionarmos a circunferência em torno do eixo x, obteremos uma esfera de centro na origem e raio r.

Temos que a equação da circunferência é:

Como a esfera tem centro na origem, temos que a = 0 e b = 0, logo:

Para encontrarmos o volume desta esfera, vamos supor fatias de larguras infinitesimais dx e raio y.

O volume do cilindro é dado por:

Como o raio do cilindro de altura infinitesimal é igual a dx e seu raio da base é igual a y, podemos reescrever a fórmula de seu volume como:

Podemos dizer que a esfera é formada por infinitos cilindros de alturas infinitesimaisdx, onde seu raio y é variável para cada cilindro.

A soma desses cilindros de alturas infinitesimais é dado pela integral definida:

Como:

Temos:

Aplicando a integral:

Que é a famosa fórmula para o cálculo do volume de uma esfera.

Se derivarmos seu volume em relação ao raio r, obtemos sua área:

e esta é a fórmula para o cálculo da área da esfera.

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Créditos:  Kleber Kilhian em http://www.obaricentrodamente.blogspot.com