A Construção da Primeira Tábua de Logaritmos Decimais por Briggs

Neste post, vamos mostrar como Briggs determinou o valor de log2 através um laborioso processo de aproximações sucessivas.

Seja log2 = x. Assim, temos que 10^x = 2. Vamos inicialmente situar o número 2 entre duas potências de 10, a₁ e a₂, com expoentes inteiros e sucessivos. Teremos: a₁ = 1 e a₂ = 10. Deste modo:

Esquematicamente, temos:

Assim, já temos uma primeira aproximação para log2, pois:

Sendo a₃ a média geométrica entre a₁ e a₂, teremos:

Vamos agora localizar o valor de a_3­ na reta do esquema anterior:

Conseguimos uma aproximação melhor, pois:

A escolha de utilizar a média geométrica entre a₁ e a₂ e não a média aritmética é que se assim fizéssemos, encontraríamos a₃ = 5,5 e não conseguiríamos transformar em uma potência de 10:

o que prejudicaria o processo de sucessões.

Podemos então continuar a repetir as operações tomando agora a média geométrica entre a₁ e a₃:

Analogamente, podemos prosseguir as aproximações encontrando:

Vejam como através das aproximações, fomos “cercando” o número 2:

Vejam que conseguimos uma satisfatória precisão de 5 casas decimais. Desta forma, temos que:

Vamos lembrar que a tabela que Briggs construiu apresentava os logaritmos dos números inteiros de 1 a 1000, com precisão até a 14ª casa decimal! Porém a grande maioria desses logaritmos foi obtida recorrendo-se a outros anteriores calculados. Mas isso não tira o brilho de suas construções. Vejam alguns exemplos:

Considerando que log2 = 0,30103 e log3 = 0,47712, determine:

a) log4

Então:

Ou seja:

b) log5

Então:

Ou seja:

c) log6

Ou seja:

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Fonte: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/08/construcao-da-primeira-tabua-de.html