Equação Exponencial

Para termos uma equação devemos ter uma igualdade, ou seja, “alguma coisa igualada à outra”.

E para ser equação exponencial devemos ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente x) colocada no expoente (potência). Para resolvê-las utilizamos métodos que se valem das propriedades que acabamos de estudar.

Não existe uma fórmula mágica para resolução de equações exponenciais, existe um objetivo a ser alcançado. Quando nos deparamos com uma equação exponencial devemos procurar um método de IGUALAR AS BASES de ambos os lados da igualdade. Isso mesmo, o objetivo é esse IGUALAR AS BASES. Veja abaixo vários exemplos resolvidos.

	Esta é a nossa equação exponencial. Temos uma igualdade e veja que sua variável (x) está como expoente do termo à esquerda desta igualdade. Bom, o nosso objetivo é igualar as bases, vamos fatorar ambos os lados:
	O lado esquerdo já estava fatorado. Agora temos os dois lados com a mesma base. Chegamos ao objetivo. Agora devemos “CORTAR” as bases de ambos os lados.
	Pronto, com as bases “cortadas” mantemos os expoentes e calculamos uma equação do primeiro grau.
x=2	Esta é a solução!!

Vejam agora um exemplo um pouquinho mais difícil:

	O nosso objetivo é sempre o mesmo, igualar as bases. Vamos fatorar ambos os lados.
	Temos agora que utilizar as propriedade de potenciação
	Pronto, estamos com as bases iguais. Vamos cortar e resolver a equação do primeiro grau novamente.
2x-2=5	Aplicando as propriedades operatórias.
2x=5+2 2x=7 x=7/2	Esta é a solução

Vamos aumentar mais uma vez o nível.

	Novamente começamos fatorando.
	Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e radiciação.
	Com as bases iguais vamos operar os expoentes
	Esta é a nossa solução x=4

Mais um exemplo um pouco mais difícil.

	Este exemplo é um pouco mais difícil pois tem um expoento no expoente. Note que teremos que igualar as bases duas vezes. Preste atenção. Vamos fatorar
	Agora podemos cortar as bases. Sobram os expoentes.
	Temos outra equação exponencial. Novamente vamos fatorar e igualar as bases.
	Corta-se as bases.
x+1=2 x=2-1 x=1	Esta é a nossa solução, x=1

Novamente vamos aumentar a dificuldade:

	Como sempre, vamos fatorar.
	Vamos aplicar as propriedades operatórias de potenciação para multiplicação e divisão de mesma base.
	Pronto, objetivo alcançado. Cortando…
8x-7=x-3 8x-x=7-3 7x=4 x=4/7	Esta é a solução

Agora com mais raízes.

	Esta parece ser bem mais difícil, né?? Mas a dificuldade é a mesma, você precisa ter os mesmo conhecimentos para resolve-la. As bases já estão definidas, vai ser 2. O que devemos fazer é transformar o lado esquerdo em uma única raiz usando as propriedades de radiciação. Vamos primeiro trabalhar no 2 mais de dentro.
	Agora é só fazer a multiplicação de potências de mesma base.
	Uma raiz já foi. Vamos fazer a mesma coisa com as outras.
	Mais uma vez para matar a última raiz.
	Bases iguais, corta-las…
	Agora é só operar e isolar “x”.
	Esta é a nossa solução.

Veja uma que precisa de Bhaskara para resolver:

	Precisamos igualar as bases mas nenhum dos lados da igualdade pode ser fatorado. Iremos usar uma propriedade que aprendemos na lição passada: qualquer número elevado na potência zero vale 1 (Xo=1). Então o lado direito da igualdade pode ser 3o.
	Agora com as bases igualadas vamos corta-las.
x2-x-6=0	Agora é uma equação do segundo grau. Aplicando Bhaskara achamos suas raízes.
{-2 e 3}	Esta é a solução, “x” pode ser qualquer um destes valores.

Última agora

3·2x+3=192	A única diferença deste exemplo é que antes de fatorar para tentar igualar as bases temos que “passar” o três que está multiplicando para o lado direito dividindo.
2x+3=192/3	Efetuando o cálculo
2x+3=64	Agora sim!!! Fatoramos para igualar as bases.
2x+3=26	Cortando…
x+3=6 x=6-3 x=3	Esta é a nossa solução.

Existem alguns tipos de equações exponenciais que necessitam de uma outra forma de resolução. Veja o exemplo:

2·2^2x-6·2^x-8=0

Se quiséssemos simplesmente igualar as bases, não conseguiríamos (tente você), pois aquele número 8 está atrapalhando.

Para resolver esta questão temos que usar uma nova técnica. Esta técnica consiste em trocar a variável (calma lá, vou explicar direirtinho).

Esta equação pode ser escrita da seguinte forma sem perder seu valor:

2·(2^x)²-6·2^x-8=0

Agora que entra a nova técnica. Vamos substituir o valor de “2^x“ pela variável “y” criada por nós. Veja como fica:

2^x = y

2y² – 6y – 8 = 0

Veja que caímos em uma equação do segundo grau.

Calculando as raízes por Bhaskara achamos y=4 e y=-1.

Atenção: aqui temos um pega-ratão, tem que ficar esperto! Estes valores (4 e -1) não são as respostas do problema, pois são os valores de “y“, a variável que nós criamos.

O problema pede os valores de “x”. Para acharmos os valores de “x” devemos calcular a igualdade2^x=y com os valores de “y” que calculamos:

y = 2x4 = 2x22 = 2xx = 2

y = 2x-1 = 2xEsta resposta não existe, pois não há nenhum expoente que possamos elevar o 2 e dê um resultado negativo, no caso -1.

Portanto, a resposta é x=2

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Tente resolver o próximo, depois veja a resolução abaixo (Gabarito é letra “D”).

1)(PUC-RS) A soma das raízes da equação  é

    (A) 10
(B) 8
(C) 4
(D) 2
(E) 1

Primeiro vamos organizar a equação de modo que fique mais fácil fazer a troca de variável:

Agora está pronta para trocar. Vamos dizer que 4^x=y , trocando:

Aí está a equação do segundo grau que devemos calcular, mas antes vamos arrumá-la: tirar MMC …

Aplicando Bhaskara achamos as raízes {2 e 8} , olha o pega ratão!!! Estes são os valores de “y” , e o problema pede a soma dos valores de “x” , não vá marcar letra “A” . Para achar os valores de “x” devemos substituir o “y” na equação 4^x=y que criamos no início:

4x=y 4x=2 22x=2 2x=1 x=1/2

4x=y 4x=8 4x=23 22x=23 2x=3 x=3/2

Estas são as duas respostas, como o problema pede a soma:

1/2 + 3/2 = 4/2 = 2

Resposta certa letra “D”.

Refaça tais exemplos no seu caderno. No livro de Iezzi, vol. 2 (tem na Biblioteca do IFBA) tem outros exemplos semelhantes.

Nos link abaixo, você encontra mais resoluções de equações exponenciais:

Exercícios de Equações Exponenciais I