Equivalência Fundamental

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Lembrando que o logaritmo é um expoente, podemos enunciar a equivalência fundamental dos logaritmos:

EQUIVALÊNCIA FUNDAMENTAL

Se \log_b N=x então N=b^x

Note que temos, na expressão acima, exatamente as duas maneiras de mostrar a pergunta feita no início do estudo de logaritmos: “Qual o expoente x que devemos elevar a base b para resultar N“.

Esta equivalência é muito importante, pois muitos exercícios sobre logaritmos necessitam dela para sua resolução. Veja, que, a flecha indicada nessa propriedade está nos dois sentidos, ou seja, você pode transformar logaritmo em exponencial e exponencial em logaritmos.

Vamos dar um exemplo de cada:

Ex. 1 – Qual o logaritmo de 216 na base 6?

Em outras palavras, podemos escrever esta pergunta como:

\log_6 216=x

Onde x é o valor procurado, ou seja, o logaritmo elucidado no enunciado.

Agora, para resolver, aplicamos a equivalência fundamental:

\log_6 216=x então 216=6^x

Caímos em uma exponencial, para resolver devemos igualar as bases (como visto na lição anterior). Fatorando o .

216=6^x (Fatorando 216)

6^3=6^x (cancelando as bases)

    x=3
     Portanto, log6 216 = 3

Ex. 2 – Qual o valor de “x” na equação 5^x=6?

Estamos perguntando: “Qual o expoente x que devemos elevar a base 5 para resultar 6 ?”. Aplicando a “volta” da equivalência fundamental podemos escrever esta igualdade como sendo:

5^x=6 então x=\log_5 6

Este é o valor de x

Veja agora alguns exemplos de aplicação da equivalência fundamental:

\log_ 5 625 Este é o logaritmo que queremos saber. Primeiro de tudo devemos igualar a “x”.
\log_ 5 625=x Agora é só usar a equivalência fundamental
625=5^x Caímos em uma equação exponencial. Vamos fatorar!
5^4=5^x Bases igualada é só cancelar (conclui-se que os expoentes são iguais).
x=4 Esta é a resposta: \log_ 5 625=4

Mais um exemplo:

\log_ 3 243

 Sempre, o que devemos fazer primeiro é igualar a “x”.

\log_ 3 243=x

 Aplicando a equivalência fundamental.

243=3^x

 Esta é uma exponencial. Fatorando.

3^5=3^x

 Cancelando as bases

x=5

 Esta é a resposta: \log_ 3 243=5

Mais um exemplo nunca é demais:

\log_{25} (0,2)

 Igualando a “x”.

\log_{25} (0,2)=x

 Aplicando a equivalência fundamental.

0,2=25^x

 Agora para facilitar o cálculo, vamos transformar o número decimal em fração e fatorar o que der.
\frac{1}{5}=(5^2)^x Aplicando as propriedades de potenciação.

5^{-1}=5^{2x}

 Cancelando as bases.
-1=2x

x=\frac{-1}{2}

 Esta é a resposta: \log_{25} (0,2)=-\frac{1}{2}

 

 

 

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