Coordenadas do Vértice de uma Parábola
Vértices
Toda função quadrática ou do 2º grau é do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola que, dependendo do valor do coeficiente a, terá a concavidade voltada para cima ou para baixo. Se o coeficiente a for negativo, a concavidade da parábola será voltada para baixo. Se ocorrer o contrário, ou seja, a for positivo, a parábola terá a concavidade voltada para cima. A parábola apresenta alguns pontos notáveis: as raízes, que são os pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas, e o vértice, que pode ser o ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto da função. Faremos o estudo do vértice da parábola, a fim de determinar as suas coordenadas e compreender sua importância no estudo da função do 2º grau.
Como foi dito anteriormente, o vértice da parábola pode ser o ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto da função do 2º grau. Se a concavidade da parábola for voltada para cima, o vértice é o ponto de mínimo da função, ou seja, é o menor valor que a função pode assumir. Se a concavidade da parábola estiver voltada para baixo, o vértice é o ponto de máximo da função, ou seja, o maior valor que a função pode assumir. O uso desses conceitos é bastante útil na teoria de lançamentos oblíquos.
Dada uma função do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, as coordenadas do vértice V da parábola descrita por essa função são:
Onde
∆ = b2 – 4ac
Vejamos alguns exemplos de aplicação.
Exemplo 1. Verifique se as seguintes funções apresentam ponto de máximo ou mínimo absoluto.
a) f(x) = – 2x2 + 3x + 5
Solução: No caso da função do 2º grau, para determinarmos se há ponto de máximo e mínimo absoluto basta verificar se a concavidade da parábola descrita pela função apresenta concavidade voltada para baixo ou para cima. Nesse caso, temos que:
a = – 2 < 0 → concavidade da parábola está voltada para baixo.
Como a concavidade da parábola está voltada para baixo, a função apresenta ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola.
b) y = 5x2 – 3x
Solução: Temos que
a = 5 > 0 → concavidade da parábola está voltada para cima.
Assim, podemos afirmar que a função apresenta ponto de mínimo absoluto, que é o vértice da parábola.
Exemplo 2. Determine as coordenadas do vértice da parábola descrita pela função f(x) = 2x2 – 4x + 6.
Solução: Analisando a função f(x) = 2x2 – 4x + 6, obtemos:
a = 2, b = – 4 e c = 6
Segue que:
Exemplo 3. Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = -9x2 + 90x. Determine a altura máxima atingida pela bala do canhão, sabendo que y é a altura em metros e x é o alcance, também em metros.
Solução: Como a parábola possui equação y = – 9x2 + 90x, podemos constatar que sua concavidade está voltada para baixo e que a altura máxima atingida pela bala de canhão corresponde à coordenada y do vértice, uma vez que o vértice é ponto de máximo absoluto.
Assim, para determinar a altura máxima atingida pela bala do canhão, basta determinar o valor y do vértice.
Temos que: a = – 9, b = 90 e c = 0. Logo, teremos:
Portanto, a altura máxima atingida pela bala de canhão é de 225 metros.
Demonstrações das fórmulas de e :
indica o eixo de simetria da parábola, ou seja, , onde e são as raízes da equação do segundo grau.
Temos .
Assim, $latex x_v=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{a}{2}=\frac{-b}{2a}$
Substituindo este valor de na função , temos:
Veja também:
VÁ ENFRENTE
Valeu muito, e que Deus lhe revele mais ainda.
Está errado o resultado do exemplo 3 !
Errado como Adryanna?
Muito bom aprendi muito
gostei
essas aplicacoes sao muito bom para nos alunos .. sempre apredemos mas.. e muitas coisas novas.. sempre ajuda nas atividades …
Muito obrigado,nao consegui encontrar em nehum outro site uma expliccação tão boa como a sua. Gracias!
Que bom que ajudou Anairam
muito útil para quem está no 9 ano
eu estava entendendo o conteudo ,mas n tava mto claro , esclareceu agora pq esta tdo bem separado !! obg vou tirar 10 amanha
Ei. uma função quadratica pode ter como resultado uma reta crescente? estou no 1 ano do ensino medio e acabei de sair das funçoes afins .
Não João, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Somente se o termo a(coeficiente de x²) for zero que teremos uma reta, mas ai a função deixa de ser quadrática e passa a ser afim.
gostei do teste
Esse conteúdo é muito tranquilo, mas gostaria de ver as demonstrações dessas fórmulas…
As demonstrações já foram feitas acima Victor.
não consigo entender nada, nada mesmo, de matemática!!!
Bárbara, todo mundo sempre sabe alguma coisa de Matemática. Afinal você utiliza a Matemática involuntariamente em todos os momentos da sua vida.
Se seu problema é no entendimento dos conteúdos escolares, sugiro que converse com seu professor para que ele possa avaliar seu grau de conhecimento e sugerir formas de você assimilá-los.
gostei desse site esta explicando tudo claramente, obrigado por te me ajudado
EU ESTOU COMESANDO A GOSTAR DESSE EXERCICIO DE VERTICE E MUITO DIVERTIDO JÁ FAZ MUITO TEMPO QUE EU ESTAVA ESQUECIDO MAIS AGORA PEQUEI O GOSTO DESSA MATERIA E MUITO DIVERTIDO A MATEMATICA
Que bom Josenildo!
so por causa desta ja vo ter 20 no teste xD
Bom teste!
Obrigado por postarem explicações e exercícios sobre o vértice da parabola, me ajudou muito.