Função trigonométrica do arco duplo e arco metade
Funções trigonométricas do arco duplo
Considere um arco da circunferência trigonométrica que mede 45°, o seu arco duplo é um arco de 90°, mas isso não significa que o valor das funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) do arco duplo seja o dobro das do arco, por exemplo:
Se o arco for igual a 30º, o seu arco duplo será 60º. O sen 30º = 1/2, o sen 60º = √3/2, portanto, percebemos que por mais que 60º seja o dobro de 30°, o sen 60º não é o dobro do sen 30º. Podemos aplicar essa mesma situação com vários outros arcos e funções trigonométricas, contudo iremos chegar à mesma conclusão.
De uma maneira geral considere um arco qualquer de medida β, o seu arco duplo será 2β, portanto, sen β ≠ sen 2β, ou seja, sen 2β ≠ 2 . sen β.
Assim, para encontrar o valor das funções trigonométricas de um arco duplo (sen 2β, cos 2β e tg 2β) teremos que seguir algumas relações, entre um arco β e o seu arco duplo 2β.
Essas relações serão feitas através das funções trigonométricas da adição de arcos. Veja como:
• Cos 2β
Segundo a adição de arcos, cos 2β é igual a:
cos 2β = cos (β + β) = cos β . cos β – sen β . sen β
Unindo os termos semelhantes teremos:
cos 2β = cos (β + β) = cos2 β – sen2 β
Portanto, o cálculo do cos 2β será feito através da seguinte fórmula:
cos 2β = cos2 β – sen2 β
• Sen 2β
Segundo a adição de arcos, sen 2β é igual a:
Sen 2β = sen(β + β) = sen β . cos β + sen β . cos β
Colocando os termos semelhantes em evidência teremos:
Sen 2β = sen(β + β) = 2 . sen β . cos β
Portanto, o cálculo do sen 2β será feito através da seguinte fórmula:
Sen 2β = 2 . sen β . cos β
• tg 2β
Segundo a adição de arcos, tg 2β é igual a:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β
1 – tg x . tg β
Unindo os termos semelhantes teremos:
tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ
1 – tg2β
Portanto, o cálculo do tg 2β será feito através da seguinte fórmula:
tg 2β = 2 tgβ
1 – tg2β
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Função trigonométrica do arco metade
Para encontrar as fórmulas das funções trigonométricas (cos, sen e tg) do arco metade, iremos considerar um arco qualquer x e o seu arco metade sendo x/2.
• Cos (x/2).
Sabendo que cos 2 β = cos2 β – sen2 β, substituindo sen2 β por sen2 β = 1 – cos2β, teremos:
cos 2 β = cos2 β – 1 – cos2 β = 2cos2 β – 1, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:
Cos x =2cos2 (x/2) – 1
Isolando cos2 (x/2), teremos:
cos2 (x/2) = cos x + 1
2
Portando, o cosseno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:
• Sen x/2
Sabendo que cos 2β = cos2 β – sen2 β, substituindo cos2 β por cos2 β = 1 – sen2β, teremos:
cos 2 β = 1 – sen2 β – sen2 β = 1- 2sen2 β, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:
Cos x = 1- 2 sen2 (x/2)
Isolando sen2 (x/2), teremos:
sen2 (x/2) = 1 – cos x
2
Portando, o seno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:
• Tg (x/2)
Sabendo que tg β = sen β. Podemos dizer que:
cos β
Tg (x/2) = sen (x/2).
cos (x/2)
Portando, a tangente do arco metade será calculada pela seguinte fórmula:
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Matemática IFBA 
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