Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita

Progressão Geométrica (PG) é uma sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:

onde a e q são números reais dados.

Assim, podemos dizer que PG é uma sequência tal que o quociente entre cada termos e o seu anterior, a partir do segundo, é uma constante denominada q.

Podemos dizer também que uma PG é toda sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é o produto do termo anterior por uma constante não-nula, denominada razão e simbolizada por q.

Para demonstrarmos a fórmula da soma dos termos de uma PG finita, considere a PG finita de n termos:

Seja S_n a soma dos n termos desta PG:

ou escrevendo-a de outra maneira:

Sabemos que se multiplicarmos ambos membros de uma igualdade por uma constante, esta igualdade continuará válida. Vamos multiplicar a igualdade (3) por uma constante de valor conveniente q:

Observando as relações (3) e (4), notamos que a parcela a₁ só aparece em (3) e a parcela a₁qⁿ só aparece em (4). As demais parcelas são comuns entre as duas relações. Para que estas parcelas sejam eliminadas, subtraímos (3) de (4):

Podemos demonstrar (5) aplicando o princípio da indução finita:

Que é a fórmula para a soma dos n termos de uma PG finita em função de a₁, a_n e q.

Podemos ainda transformar (6) para que esta esteja em função de a₁, n e q:

Sabemos que:

---

Exemplo 1: Determine a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 2², 2³, …)

Temos então que:

Aplicamos a fórmula dada em (8):

---

Exemplo 2: Determine a soma dos termos da PG (1, 1/2, 1/4, …, 1/64)

Temos que:

Aqui, podemos utilizar a fórmula dada em (6), pois teoricamente não sabemos a quantidade de termos desta PG:

Créditos: Kleber Khilhian em http://obaricentrodamente.blogspot.com/

Veja também:

Fórmula da Soma dos Termos de uma PG Infinita