Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton
Como vimos, a potência da forma , em que a, , é chamada binômio de Newton. Além disso:
- quando n = 0 temos
- quando n = 1 temos
- quando n = 2 temos
- quando n = 3 temos
- quando n = 4 temos
Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:
De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:
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Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos.
Fórmula do termo geral do binômio
Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamos que cada um deles é da forma .
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Quando p = 0 temos o 1º termo:
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Quando p = 1 temos o 2º termo:
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Quando p = 2 temos o 3º termo:
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Quando p = 3 temos o 4º termo:
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Quando p = 4 temos o 5º termo:
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Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser expresso por:
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