Série de Potências

Em matemática, uma série de potências (de uma variável) é uma série infinita da forma

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

onde an representa o coeficiente do n-ésimo termo, c é uma constante, e x varia em torno de c (por esta razão, algumas vezes a série é dita centrada em c). Esta série geralmente surge como uma série de Taylor de uma função.

Em muitas situações, c é igual a zero, que em uma série de Taylor é um caso particular denominado série de Maclaurin. Nesses casos, a série de potências toma a seguinte forma simplificada

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.

Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).

Uma série geométrica

\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,

que é válida para | x | < 1, é um dos exemplos mais importantes de séries de potência, assim como a fórmula da função exponencial

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,

e a fórmula do seno

\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,

válida para todo real x.

Essas séries de potências são também exemplos de séries de Taylor. Entretanto, existem séries de potências que não são séries de Taylor de uma função qualquer, tal como

\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \cdots.

Potências negativas não são permitidas em uma série de potências, por exemplo 1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots não é considerada uma série de potência. Similarmente, potências fracionais, tais como x1 / 2, não são consideradas séries de potências .

 

 

fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_pot%C3%AAncias