"Não há cura para o nascimento e a morte, a não ser usufruir o intervalo." (George Santayana)

Área de Pentágono Irregular

O cálculo da área de um pentágono irregular exigem métodos alternativos de cálculo de áreas. O mais comum é dividir o pentágono em cinco triângulos e calcular a soma das cinco áreas da área triângulos . Podemos calcular a área de pentágono irregular , com dois procedimentos alternativos: o método de triangulação ou o determinante de Gauss : Triangulação de pentágono irregular Deixe- P um pentágono irregular . Você quer calcular a sua área ( A ). O método de […]

Área de Pentágono Irregular

Primeiro os parênteses, depois os colchetes e por último as chaves. Qual a razão para esta ordem?

Na resolução de expressões numéricas que envolvem os símbolos de parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, existe uma razão para usar e ordenar estes símbolos? Na última aula que dei sobre o assunto, muitos alunos me interrogaram sobre o porquê desta ordem e da necessidade destes três símbolos. Reclamavam que algumas expressões eram um pouco extensas.

Professor, por que existe esta ordem para resolver expressões numéricas? E se eu usasse apenas um destes símbolos, a expressão que escrevi está errada? Foram ótimas perguntas que geraram ótimas discussões.

Depois de muito debater sobre o tema durante a aula e chegar em algumas conclusões, surgiu a ideia de escrever este artigo. Nele mostrarei a razão de usar estes símbolos e o que aconteceria se não utilizássemos. Mas antes, observe esta expressão numérica.

Qual a resposta para esta expressão? 144? 4, talvez? ou 56? Pense nisso e compartilhe a sua resposta para a rede social que estiver usando no momento. Esta imagem aparecerá automaticamente com a descrição do artigo.

A razão

A única finalidade para o uso destes símbolos é a melhor organização das operações aritméticas. Não importa se a ordem de resolução depende de usar o ( ), [ ] e { }. Imagine se não existisse o [ ] e a { }, há algum problema na utilização de apenas o ( )? Claro que não.

Observe:

{3+5×6÷[9−4×2−(10−2)×3]−11}={3+5×6÷[9−4×2−(10−2)×3]−11}=

ou

(3+5×6÷(9−4×2−(10−2)×3)−11)=(3+5×6÷(9−4×2−(10−2)×3)−11)=

Há alguma semelhança na escrita? Há algum problema que impossibilitaria a resolução desta expressão numérica? Não. Mas dependendo do tamanho da expressão, usar apenas um símbolo pode tornar o cálculo meio confuso (mesmo se destacar o tamanho dos parênteses) para alunos que estão começando a estudar expressões numéricas. Futuramente pode se tornar ainda mais confuso com o uso de números fracionários e outros números na medida que avançam os conteúdos.

A razão para o uso destes símbolos está em um dos axiomas matemáticos — a distributividade da multiplicação em relação a adição ou a subtração. O parênteses ( ) é uma convenção utilizada para destacar qual a primeira operação que será realizada, assim como o [ ]  é a segunda ordem e { } é a última ordem.

De fato se escrevêssemos: a+b×ca+b×c como (a+b)×c(a+b)×c ou a+(b×c)a+(b×c), poderíamos sempre começar pela multiplicação, pois a propriedade distributiva assegura que (a+b)×c=a×c+b×c(a+b)×c=a×c+b×c. Mas em a+(b×c)a+(b×c) não é possível começar a calcular pela adição. Na ausência do parênteses é comum que os cálculos comecem sempre pelas multiplicações e divisões.

Todas estas conclusões foram encontradas na medida que os conteúdos matemáticos avançaram. A partir da exemplificação das propriedades matemáticas: comutativa, associativa, distributiva, elemento neutro, elemento simétrico, etc.

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Fonte: https://www.prof-edigleyalexandre.com/

Dia do pi: para que se usa a mais famosa constante matemática?

O pi tem várias utilidades – é usado nos nossos celulares, nos relógios de pêndulo e no GPS; até o Google resolveu celebrar o aniversário do número com uma brincadeira com a palavra ‘pie’, que significa ‘torta’ em inglês. O número pi, representado pela letra grega π, é a constante matemática mais famosa da história. […]

Dia do pi: para que se usa a mais famosa constante matemática?

Diferenças entre função e equação

As principais diferenças entre função e equação envolvem a definição, as incógnitas e variáveis e a análise dos resultados obtidos em cada uma delas.

As principais diferenças entre função e equação referem-se especialmente a seus resultados

Funções e equações são conteúdos estudados no ensino fundamental e aprofundados no ensino médio que possuem diversas semelhanças. Para identificá-las, basta analisar alguns exemplos de funções e de equações:

Exemplos de equação:

x – 2x = 4x+ 7

ax² + bx + c = 0

Exemplos de função:

f(x) = 5x + 7

y = 5x + 7

f(x) = ax² + bx + c

Observe que tanto as funções quanto as equações são formadas por expressões algébricas, por operações matemáticas e por uma relação de igualdade entre dois membros.

Para compreender melhor as diferenças entre as funções e as equações e para listar a primeira diferença, veremos a seguir as definições de equação e de função.

Definições de equação e função

Uma equação é uma relação de igualdade entre expressões algébricas munidas de, pelo menos, uma incógnita e de operações matemáticas. As incógnitas são números desconhecidos. Resolver uma equação é encontrar os valores numéricos das incógnitas.

Comumente, os números desconhecidos são representados pela letra x. Quando a equação possui apenas uma incógnita, dizemos que resolvê-la é encontrar o valor de x, usando as propriedades das equações.

Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A, chamado domínio, a um único elemento de um conjunto B, chamado contradomínio.

Os números desconhecidos, nas funções, são chamados de variáveis. As funções precisam de pelo menos duas: uma variável independente e uma variável dependente, geralmente representadas pelas letras x e y, respectivamente.

As funções, portanto, fazem uso de equações para relacionar elementos (números) entre conjuntos. Essa é a primeira diferença fundamental entre esses dois conteúdos.

Diferença entre incógnita e variável

A letra que representa números desconhecidos ganha nomes distintos em funções ou equações. Para as funções, essa letra é chamada de variável, e, nas equações, recebe o nome de incógnita.

Essa distinção dá-se pela diferença entre os números que elas representam. Nas equações, as incógnitas representam números fixos. A quantidade de resultados será menor ou igual ao grau das equações. Por exemplo, cada equação do primeiro grau com uma incógnita possui apenas um resultado, e cada equação do segundo grau com uma incógnita possui, no máximo, dois resultados reais e distintos.

Já nas funções, as variáveis podem assumir o valor de qualquer número, desde que ele esteja dentro do conjunto do domínio e/ou do contradomínio. Por isso, as letras são chamadas de variáveis: o valor numérico delas não é fixo nas funções.

Sendo assim, não é comum falar em “resolver uma função”, mas o primeiro passo é encontrar meios de observar como ela comporta-se. A forma mais fácil de visualizar isso é por meio do gráfico da função.

Diferença na interpretação dos resultados

Observe os dois problemas a seguir, um referente a equações e outro referente a funções.

1º Problema – A soma de 5 números naturais consecutivos é igual a 60. Quais são esses números?

Solução: Podemos escrever o problema na forma de equações. Basta pensar que x é o menor de todos os 5 números. Como eles são naturais consecutivos, os próximos quatro números serão: x + 1, x + 2, x + 3 e x + 4. Ao somá-los, o resultado deverá ser igual a 60. Assim, montamos a equação:

x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = 60

Observe que basta encontrar o valor numérico de x para resolver essa equação. Encontrar o restante dos números naturais é a solução do problema e não da equação.

x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = 60

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 60

x + x + x + x + x + 10 = 60

5x = 60 – 10

5x = 50

x = 50
5

x = 10

Assim, a sequência de números é 10, 11, 12, 13 e 14.

2º Problema – Uma sapataria possui gastos mensais fixos de R$ 230,00 e gasta R$ 20,00 para cada par de sapatos produzidos.

a) Qual a função que representa os gastos dessa empresa?

f(x) = 20x + 230

Isso porque não sabemos quantos pares de sapatos serão produzidos. Se quisermos determinar os gastos da empresa para a produção de 100 pares de sapatos, teremos uma equação para resolver.

b) Quanto essa empresa gasta para produzir 100 pares de sapatos?

f(x) = 20x + 230

f(100) = 20·100 + 230

f(100) = 2000 + 230

f(100) = 2230

R$ 2230,00

Perceba que a função do exemplo é capaz de determinar todos os possíveis gastos da empresa, independentemente da quantidade de sapatos que queira produzir. Para isso, basta escolher para x um número de sapatos a ser produzido, e os cálculos resultarão no gasto para produzi-los. Já a equação é usada para um caso específico e, por isso, possui resultado fixo.

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Créditos: Luiz Paulo Moreira Silva em http://mundoeducacao.bol.uol.com.br

Assuntos do ensino fundamental e médio essenciais para se dar bem em Cálculo I

Ensino fundamental

• TABUADA
• MMC
• Operações com frações (adição, subtração, multiplicação e divisão)
• Fatoração/simplificação de expressões algébricas
• Produtos notáveis
• Funções
  • Função par e função ímpar
  • Funções compostas
  • Funções inversas
• Função afim
• Equação do primeiro grau
• Inequações do primeiro grau
• Equação do segundo grau
• Polinômios e equações polinomiais
• Função quadrática
  • Raízes e a Fórmula de Bháskara
  • Resolução de funções quadráticas incompletas
  • Vértice (xv e yv)
  • Intervalo em que a função é crescente/decrescente
  • Gráfico
  • Valores de máximos e mínimos
• Potenciação e propriedades da potenciação
• Radiciação e propriedades
• Racionalização de denominadores
• Teorema de Pitágoras

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Ensino Médio

• Equação da reta
• Sólidos geométricos (prisma, paralelepípedo, cubo, cilindro, cone, pirâmide e esfera) – Área lateral, área da base, área total e volume
• Função exponencial
• Equação exponencial
• Logaritmo e propriedades
• Função logarítmica
• Equação logarítmica
• Dispositivo prático de Briot-Ruffini
• Trigonometria
  • Trigonometria no triângulo retângulo
  • Trigonometria no círculo
  • Ângulos notáveis
  • Seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis
  • Redução de arcos ao primeiro quadrante
  • Secante, cossecante e cotangente
• Funções trigonométricas
• Função seno
• Função cosseno
• Função tangente

10 dicas para estudar Matemática

1)  Estude todos os dias em horários fixamente determinados, revisando os conteúdos trabalhados em sala de aula ou fazendo atividades do livro didático. Dizem que a prática leva a perfeição, então quanto mais praticar melhor;

2) Refaça os exercícios resolvidos pelo professor em sala, conferindo com a resolução. “Estudar um pouco todos os dias após as aulas é a melhor maneira de entender os conteúdos”;

3) Procure resolver exercícios variados que exigem estratégias de resolução diferentes. Não desanime diante de problemas mais difíceis, procure lê-los com atenção e sanar as dúvidas com seu professor.

4) Sublinhe ou assinale as respectivas dúvidas e pergunte para o professor em sala (ou horário de atendimento), ou a outra pessoa que possa ajudá-lo. O aluno não deve ter medo de perguntar. “Toda pergunta é importante, pois pode se tratar de uma dúvida geral”;

5) A resolução dos exercícios deve obedecer algumas regras. É preciso esquematizar, organizar e extrair os dados do problema. “Leia com muita atenção, duas, três vezes, para entender primeiro o que está sendo proposto e o que está sendo dado”.

6) Também é importante que o aluno tenha conhecimento dos diversos caminhos a serem percorridos para resolver um problema. “Dificilmente um exercício de Matemática tem uma única solução. “Não tente pensar em uma mais ou menos fácil, acredite no seu raciocínio, essa é a solução mais fácil”;

7) Se necessário, busque  auxilio em livros de apoio da mesma série ou de outras que possuam o conteúdo que esta sendo estudado para realização de exercícios extra classe;

8) É importante Mapear os conteúdos ou situações problemas com as quais se tenha mais dificuldade, afim de sanar as dúvidas com o professor;

9) Dê mais ênfase ao conteúdo ou situação-problema que se tenha mais dificuldade afim de superá-los;

10) Se necessário realizar todas as tarefas de casa com acompanhamento de pais, colegas ou outras pessoas que possam ajudá-lo. (lembrando que o colégio dispõe de aulas de atendimento ao aluno no turno oposto. As dúvidas podem ser sanadas nesse horário);

O desenvolvimento do raciocínio lógico não se faz de uma hora para outra. É preciso treino, muita disciplina, esforço e persistência, pois sem isso, de nada adiantarão as dicas”.

Dicas de alguns blogs de Matemática

Nome	Endereço	Descrição
Só Matemática	https://www.somatematica.com.br/	Portal com mais de 3.000 páginas de conteúdo, incluindo teoria, prática, curiosidades, desafios, exercícios e muito mais.
Khan Academy	https://pt.khanacademy.org/	Plataforma gratuita com vídeos, exercícios e artigos sobre diversos assuntos, incluindo matemática para todos os níveis.
Matemática.pt	https://www.matematica.pt/index.php	Portal com milhares de exercícios resolvidos em vídeo, aulas e resumos com explicações detalhadas da matéria para auxiliar na preparação de exames.
O Baricentro da Mente	https://www.obaricentrodamente.com	Blog com foco em matemática para o ensino superior, com artigos, exercícios e desafios.
Saber Matemática	https://sabermatematica.com.br	Blog com foco em matemática para o ensino fundamental e médio, com videoaulas, exercícios e dicas de estudo.
Portal da Matemática OBMEP	https://www.obm.org.br/	Portal com videoaulas, exercícios, jogos e outros recursos para estudantes de todos os níveis, com foco em olimpíadas de matemática.

Dicas

• Explore os blogs e canais listados para encontrar o que melhor se adapta ao seu nível de conhecimento e seus objetivos de aprendizado.
• Utilize a barra de pesquisa nos blogs para encontrar conteúdos específicos.
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Fórmulas de áreas

Dia de Fibonacci

O Dia de Fibonacci observa-se a 23 de novembro.

Esta data na sua ordem americana (11/23: mês de novembro, dia 23) corresponde aos primeiros números da famosa sequência de Fibonacci.

Sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é uma sucessão de números inteiros infinita na qual cada termo subsequente corresponde à soma dos dois anteriores. Os números de Fibonacci são assim: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181…

Ao se dividir qualquer número desta sequência pelo anterior, extrai-se a razão, que é uma constante transcendental chamada de número de ouro. Esta proporção é muito usada na arte, arquitetura e design por ser agradável aos olhos.

Ao transformar estes números em quadrados e dispor-lhes de forma geométrica, consegue-se traçar uma espiral perfeita, que também é visível em variados organismos vivos.

Leonardo Fibonacci

Esta sucessão já era conhecida na antiguidade, mas foi Fibonacci que a explicou e divulgou na Europa, chamando a atenção para a sua importância no desenvolvimento da ciência.

O Dia Fibonacci comemora esta sequência e o homem que a descreveu em 1202, Leonardo Fibonacci, também conhecido como Leonardo de Pisa.

O matemático italiano teve ainda um papel relevante na introdução dos algarismos arábicos na Europa, sendo considerado o matemático ocidental mais talentoso da Idade Média.

Este é mais um dia do calendário para os apaixonados por Matemática, a juntar ao Dia do Pi e ao Dia da Aproximação de Pi.

Fonte: https://www.calendarr.com/portugal/dia-de-fibonacci/

Dica

A dica de hoje é o Canal “Isto é Matemática” que é uma fonte de conhecimento e entretenimento para os amantes da disciplina e pessoas que não gostam tanto.

Com conteúdo diversificado e didático, o canal explora os aspectos fascinantes da Matemática, abordando desde fundamentos básicos até conceitos avançados. Os episódios revelam os segredos das fórmulas e teoremas, mostrando a importância da Matemática em diversos campos.

O Canal “Isto é Matemática” torna o aprendizado mais envolvente, utilizando exemplos práticos do dia a dia. Assista aos vídeos e explore o fascinante universo da Matemática.

Segue o link para acesso ao canal: https://www.youtube.com/user/istoematematica